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a16z:损失与再平衡,量化“为自动化做市商提供流动性”的成本

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作者:Jason Milionis, Ciamac Moallemi, Tim Roughgarden , Anthony Lee Zhang

自动做市商(AMM)有两类参与者:交易者,他们用AMM的一种代币交换另一种代币(作为一个运行的例子,例如ETH和USDC);以及流动性提供者(LP),他们首先向AMM提供代币,一般是为了换取交易费用的份额。

什么时候作为LP参与才有经济意义?什么时候收益超过成本?这种比较的好处是很容易理解的:共享交易费的收入,加上在某些情况下额外的代币奖励。这篇文章总结了一种思考成本方面的新方法,它围绕着一个数量,我们称之为LVR(“损失与再平衡”,发音正好为“杠杆”)。我们将在下文中详细介绍LVR及其对LP和AMM设计者的影响,但首先让我们回顾一下AMM在市场价格演变中的行为。

AMMs中的套利和逆向选择

自动做市商中的流动性提供者遭受不利选择的损失,这是作为LP做生意的代价之一。由于提供在给定价格下交易的任何一方(买入或卖出),AMM中的每个LP都有可能在拥有关于代币市场价格的更好或更多最新信息的交易者的交易中承担错误的一方。例如,如果ETH在公开市场上的价格突然上升,一个快速的套利者可能会从AMM中买入ETH(以陈旧的、较低的价格),然后在Binance等中心化交易所转售(以新的、较高的市场价格),将利润收入囊中。因为AMM中只有两类参与者,交易者的利润必须与LP的损失相对应。

为了推理流动性提供的成本,从而为LP的参与决策和AMM设计提供信息,让我们从评估过去这个更简单的问题开始。假设我们刚刚完成了向ETH-USDC AMM提供流动性的工作。事后看来,这是个好主意吗?假设我们将1个ETH和1000个USDC存入该AMM,并在提款时收到0.5个ETH和2000个USDC。(在大多数AMM中,你得到的回报可能与你投入的不同,这取决于AMM代币的市场价格在这段时间内的变化)。进一步假设,这是ETH的一个非常好的月份,市场价格在一个月内从1000美元跃升至4000美元。在这种情况下,提供流动性的决定将使你的资金翻倍,从存入时的2000美元价值的投资组合变成提取时的4000美元价值的组合。

这似乎是一个伟大的举动,但这是马虎的想法。为AMM提供流动性涉及到在当月持有一定数量的ETH。鉴于ETH的价格在这一个月里翻了两番,几乎任何涉及持有一些ETH的策略在事后看来都是相当不错的。

更为尖锐和重要的问题是:与所有其他可以“做多ETH”的方式相比,AMM提供流动性的具体策略如何?等于说,抛开纯粹由ETH价格演变产生的利润(或损失)后,这个决定看起来如何?

赌ETH价格上涨的最简单方法是(等着吧)买入一些ETH并持有。在我们的例子中,这种策略将推动月底的投资组合(仍然是1个ETH和1000美元,但现在ETH价格为4000美元)价值5000美元,比从AMM中提取的整整多了1000美元。这1000美元的差距是一个通常被称为“无常损失”或“背离损失”的例子。

无效损失的问题

虽然无常损失至少将LP的利润与参考策略下可能取得的利润进行了比较,但它未能将AMM LPs所面临的逆向选择成本分离出来。为了看到这一点,让我们改变我们的运行例子,使ETH的价格在月初和月末都是1000美元。在这种情况下,在大多数AMM中,你会拿回与你最初存款相同的代币组合(实际上是持有),这意味着无常的损失将是零。无论ETH价格整个月保持不变,还是在回到1000美元之前跳来跳去,都是如此。

无常损失对价格轨迹的独立性(除了其初始值和最终值之外)应该让你觉得很可疑。例如,我们已经讨论过关于AMMs的套利,即交易者以牺牲LPs为代价获利。那么,似乎LP的成本应该在AMM套利的机会数量上增加。而且,如果价格保持不变(没有套利)与价格经常跳动(大量套利),这种机会的频率是非常不同的。

引入LVR

我们提出了一种新的方式来思考AMM的LP所遭受的成本,其核心是一个我们称之为LVR(“损失与再平衡”,发音为“杠杆”)的数量。LVR可以用几种不同的方式来解释(这通常是一个定义的好迹象)。我们在此强调的是,作为无常损失的替代方法,它使用了一种更合适和细微的参考方法——再平衡。(LVR的另一种解释是LP在适当地对冲其对ETH价格的市场风险后的损失。还有一种解释是指套利者可能获得的最佳利润)。

再平衡是AMM特有的,所以让我们在恒定产品做市商(CPMM)的典型特例中介绍它,该特例由Uniswap(v1和v2)闻名。双代币CPMM的特例也被称为 “x*y=k ” curve——保持两个代币的储备,例如x单位的ETH和y单位的USDC。现货价格(一个无限小的交易价格)被定义为y/x,其效果是使两个储备的市场价值相等。(在这个意义上,这样的AMM有效地执行了一个再平衡策略。)在实践中,这个现货价格的定义是隐含的,只允许让两个代币数量的乘积x*y不变的交易。

LVR可以在每笔交易的基础上进行定义,所以让我们看一下单笔交易。考虑一个有1个ETH和1000个USDC的CPMM,并假设ETH的市场价格突然从1000美元跳到4000美元。我们期望一些套利者从CPMM中买入0.5个ETH,每ETH的有效价格为2000美元,从而保持x*y不变,同时将现货价格移动到2000/0.5=4000美元/ETH(并使两个储备的市场价值相等,为2000美元)。

下面是参考的再平衡,从1个ETH和1000个USDC的相同初始组合开始:复制CPMM的交易(意味着卖出0.5个ETH,就像CPMM一样),但以当前市场价格4000美元执行(例如,在Binance上)。因为这个替代策略导致投资组合的价值比CPMM多1000美元(5000美元对4000美元),我们说这个交易的LVR是1000美元。

继续这个例子,假设ETH的价格突然回落到1000美元。CPMM将回到(套利后)最初的状态,即1个ETH和1000美元,实际上是以2000美元的每ETH价格买回同样的0.5ETH。再平衡参考策略复制交易(买入0.5ETH),但以市场价格(1000美元)执行。现在,再平衡策略的投资组合的市场价值比CPMM多了1500美元(3500美元对2000美元),第二笔交易为累积的LVR额外贡献了500美元。

这种计算方式在直觉上是令人满意的:与无常损失不同,LVR取决于价格轨迹(如果价格保持不变,LVR为0,但如果价格跳升后又回落,则LVR为0),并且逐笔交易累积(因为每笔交易都可能是错误的,导致额外的逆向选择成本)。

LVR:一个一般的定义

在看过前面的例子后,LVR的一般定义应该不会让你感到惊讶:给定一个任意的AMM上的任意交易序列,该序列的LVR是通过AMM而不是在公开市场上执行交易所产生的损失之和。这个总和的每一项都是a(p-q)的形式,其中a表示交易中出售的ETH数量(例如,在我们上面的第一次和第二次交易中,0.5和-0.5),p表示当时的市场价格(上面是4000和1000),q表示AMM交易的每单位价格(上面是2000和2000)。

该定义的一个变体是定期(如每小时或每天)进行再平衡,而不是逐笔交易,实际上是将交易分批进行,并复制每批的净交易。这种变体可以简化LVR的实证分析,可以说在上面提到的LVR的对冲解释中更为自然。

对过去的推理…

LVR隔离了LP所承担的逆向选择成本。在事后看来,提供流动性的决定是一个好主意吗?首先,这个问题可以归结为所收取的费用是否超过了所遭受的LVR,因此通常很容易使用公开的数据(例如,AMM的交易链上记录和Binance的历史价格数据)来回答。

…关于未来

为了推理未来而不是过去的LP决策,我们不能直接依赖数据,必须采用一些关于价格可能演变的数学模型。(我们可以使用各种不同的模型,但最自然的出发点可能是金融学中的标准Black-Scholes模型,ETH的价格根据几何布朗运动(关于一个合适的martingale度量不断演变。)

如果你不熟悉这个模型,要知道的关键是它基本上只有一个重要的参数,即价格波动率σ。如果σ=0,价格保持不变,而如果σ很大,价格就会疯狂跳动。如果你认为收益是随机漫步,那么σ可以宽泛地解释为典型的长度。

在这个模型中,LVR可以被精确地描述。因为LVR是逐笔交易积累的,而且这是一个连续时间模型,交易一直在发生,LVR积累为瞬时LVR的积分。瞬时LVR与σ和当前市场价格成二次方,并与该价格下AMM的边际流动性成线性关系。

这种数学特征听起来有点吓人,但许多常见的AMM是如此简单,以至于LVR是由一个基本的封闭式公式给出的。

例如,对于CPMM来说,当被CPMM的市场价值归一化时,瞬时LVR正好是σ²/8。插入数字,如果Uniswap v2 ETH-USDC池的日波动率为5%,那么根据我们的模型,LPs每天损失3.125个基点的LVR(每年大约有11%的损失)。费用收入能否弥补这一损失?答案取决于交易费用和交易量。例如,如果这个AMM收取固定的30个基点的交易费,那么只要每天的交易量大约是AMM资产的10.4%,LPs就会收支平衡。如果每天的波动率是10%,所需的交易量将是四倍之多。(请记住,LVR与σ成二次函数关系)。

对AMM设计者的影响

LVR不仅对潜在的流动性提供者很重要,对AMM设计者也很重要。一个AMM只有在它有快乐的LP时才能成功,这意味着费用收入需要与LVR成比例。

我们工作的一个含义是,由于LVR取决于波动性,而费用收入取决于交易量,AMM应该考虑随着交易量、波动性或根据经验观察到的LVR而调整的动态费用。其次,AMM的设计者应该研究最小化LVR的方法(以及因此需要的LP激励),例如通过纳入高质量的定价预言机来引用更接近市场的价格。下一代AMM已经在探索这些和相关的想法,我们迫不及待地想看看它是如何发展的。

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关于LVR的更深入的技术分析和讨论,请看我们的原始论文(
https://arxiv.org/abs/2208.06046),“自动做市和损失与再平衡”。这里是Tim Roughgarden在SBC’22上发表的关于LVR的演讲(https://a16zcrypto.com/sbc-22-science-of-blockchain-conference-field-notes/)。

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Jason Milionis是哥伦比亚大学计算机科学系的博士生,由Christos Papadimitriou和Tim Roughgarden指导。他对博弈论有广泛的兴趣,特别是与机器学习和非中心化金融(DeFi)相结合。

Ciamac Moallemi是哥伦比亚大学商学院决策、风险和运营部门的William von Mueffling商业教授。

Tim Roughgarden是哥伦比亚大学计算机科学教授和数据科学研究所成员,也是a16z crypto的研究主管。

Anthony Lee Zhang是芝加哥大学布斯商学院的金融学助理教授。他的研究涉及银行和金融中介、家庭金融、货币市场、住房市场和加密货币/DeFi等主题。

编辑:Tim Sullivan @tim_org

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编辑于 2022-09-20 04:46
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